lunes, 26 de enero de 2009

NÚMEROS COMBINATORIOS

Números combinatorios

Las agrupaciones combinatorias que sólo consideran la esencia de los grupos formados y no su orden, llamadas combinaciones, han constituido una rama específica dentro de la especialidad del análisis combinatorio, con múltiples usos en diversos campos. La expresión numérica de tales combinaciones recibe el nombre de número combinatorio o coeficiente binómico.

Coeficientes binómicos

Se define número combinatorio o coeficiente binómico como el valor numérico de las combinaciones ordinarias (sin repetición) de un conjunto de n elementos tomados en grupos de r, siendo n y r dos números enteros y positivos tales que n ³ r. Matemáticamente, un número combinatorio se expresa como:

Los números combinatorios se leen «n sobre r».

Propiedades de los números combinatorios

Los números combinatorios presentan algunas propiedades muy interesantes que justifican el amplio uso que se hace de ellos en algunas ramas científicas:

  • Primera propiedad de los números combinatorios:

  • Segunda propiedad de los números combinatorios.

Otras propiedades generales de los números combinatorios son las siguientes:

  • Cualquier número sobre 0 es igual a 1.
  • Todo número sobre sí mismo es igual a 1.
  • Un número sobre 1 es siempre igual al número.

Triángulo de Tartaglia

En el siglo XVI, el italiano Niccolò Tartaglia propuso un triángulo regular de números tales que:

  • Todas las filas del triángulo comienzan y terminan por la unidad, y son simétricas con respecto al valor central.
  • Cada número del triángulo es igual a la suma de los dos situados encima de él (salvo los extremos).
  • La suma de todos los elementos de cada fila coincide con el valor 2n, siendo n el orden de la fila.

Esta disposición es de tipo combinatorio y se conoce como triángulo de Tartaglia o de Pascal.

Este triángulo adquiere particular significación si se expresa en forma de números combinatorios, y ayuda a comprender las propiedades de los mismos.

Binomio de Newton

El uso de números combinatorios simplifica enormemente la expresión del llamado binomio de Newton, que desarrolla el valor de la potencia n-sima de un binomio:

Particularizando este binomio para el caso a = b = 1, se obtiene una explicación del hecho de que la suma de cada fila del triángulo de Tartaglia sea igual a 2n, ya que resulta:

http://www.hiru.com/es/matematika/matematika_05400.html

Los números factoriales

Si tenemos n, que es un número natural mayor que 1, llamamos factorial de n y lo representamos como n! al producto de los n primeros números naturales no nulos. Es decir, un número factorial es el producto de varios números naturales consecutivos a partir del 1.

Considerando que todos los productos tienen por lo menos dos factores, no tienen sentido los símbolos 0! Y 1!, pero para poder aplicar las fórmulas a todos los casos, se definen los números factoriales de 0 y de 1 como 0! = 1 y 1! = 1.

Propiedades de los números factoriales:

  • Multiplicando n factorial por n + 1 obtenemos como resultado n + 1 factorial; es decir, n! (n + 1)= (n + 1)!. De esta propiedad podemos deducir que si dividimos el factorial de n + 1 entre n factorial obtendremos n + 1; es decir, (n + 1)! / n! = n + 1
  • Si multiplicamos un número factorial k! por sus consecutivos hasta llegar a n obtendremos el factorial de n; es decir, k! • (k + 1) • (k + 2) • (k + 3) • ... • (n – 2) • (n – 1) • n = n!

Los números factoriales generalizados son productos de factores consecutivos en orden inverso. Siendo n y k dos números naturales mayores que 1 y siendo n mayor o igual que k, llamamos factorial generalizado de n de orden k, y se representa como n(k) , al producto de k factores descendientes a partir de n; es decir: n(k) = n (n –1) • (n – 2) • (n – 3) • ... • (n – k + 1)

Al igual que en el caso de los factoriales, los símbolos n(0) y n(1) carecen de sentido, pero para poder aplicar las fórmulas, se establece que n(0) = 1 y n(k) = n

Propiedades de las factoriales generalizadas:

  • n(n) = n!
  • n(n - h) • h! = n!
  • n(h) • (n – h)! = n!

http://monografias.interbusca.com/matematicas/los-numeros-factoriales-65.html

3.1 Técnicas de Conteo.

3.2 Combinaciones.

3.3 Variaciones. Permutaciones

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