Números combinatorios

Las agrupaciones combinatorias que sólo consideran la esencia de los grupos formados y no su orden, llamadas combinaciones, han constituido una rama específica dentro de la especialidad del análisis combinatorio, con múltiples usos en diversos campos. La expresión numérica de tales combinaciones recibe el nombre de número combinatorio o coeficiente binómico.

Coeficientes binómicos

Se define número combinatorio o coeficiente binómico como el valor numérico de las combinaciones ordinarias (sin repetición) de un conjunto de n elementos tomados en grupos de r, siendo n y r dos números enteros y positivos tales que n ³ r. Matemáticamente, un número combinatorio se expresa como:

Los números combinatorios se leen «n sobre r».

Propiedades de los números combinatorios

Los números combinatorios presentan algunas propiedades muy interesantes que justifican el amplio uso que se hace de ellos en algunas ramas científicas:

• Primera propiedad de los números combinatorios:

• Segunda propiedad de los números combinatorios.

Otras propiedades generales de los números combinatorios son las siguientes:

• Cualquier número sobre 0 es igual a 1.
• Todo número sobre sí mismo es igual a 1.
• Un número sobre 1 es siempre igual al número.

Triángulo de Tartaglia

En el siglo XVI, el italiano Niccolò Tartaglia propuso un triángulo regular de números tales que:

• Todas las filas del triángulo comienzan y terminan por la unidad, y son simétricas con respecto al valor central.
• Cada número del triángulo es igual a la suma de los dos situados encima de él (salvo los extremos).
• La suma de todos los elementos de cada fila coincide con el valor 2ⁿ, siendo n el orden de la fila.

Esta disposición es de tipo combinatorio y se conoce como triángulo de Tartaglia o de Pascal.

Este triángulo adquiere particular significación si se expresa en forma de números combinatorios, y ayuda a comprender las propiedades de los mismos.

Binomio de Newton

El uso de números combinatorios simplifica enormemente la expresión del llamado binomio de Newton, que desarrolla el valor de la potencia n-sima de un binomio:

Particularizando este binomio para el caso a = b = 1, se obtiene una explicación del hecho de que la suma de cada fila del triángulo de Tartaglia sea igual a 2ⁿ, ya que resulta:

http://www.hiru.com/es/matematika/matematika_05400.html

Los números factoriales

Si tenemos n, que es un número natural mayor que 1, llamamos factorial de n y lo representamos como n! al producto de los n primeros números naturales no nulos. Es decir, un número factorial es el producto de varios números naturales consecutivos a partir del 1.

Considerando que todos los productos tienen por lo menos dos factores, no tienen sentido los símbolos 0! Y 1!, pero para poder aplicar las fórmulas a todos los casos, se definen los números factoriales de 0 y de 1 como 0! = 1 y 1! = 1.

Propiedades de los números factoriales:

• Multiplicando n factorial por n + 1 obtenemos como resultado n + 1 factorial; es decir, n! (n + 1)= (n + 1)!. De esta propiedad podemos deducir que si dividimos el factorial de n + 1 entre n factorial obtendremos n + 1; es decir, (n + 1)! / n! = n + 1
• Si multiplicamos un número factorial k! por sus consecutivos hasta llegar a n obtendremos el factorial de n; es decir, k! • (k + 1) • (k + 2) • (k + 3) • ... • (n – 2) • (n – 1) • n = n!

Los números factoriales generalizados son productos de factores consecutivos en orden inverso. Siendo n y k dos números naturales mayores que 1 y siendo n mayor o igual que k, llamamos factorial generalizado de n de orden k, y se representa como n(^k) , al producto de k factores descendientes a partir de n; es decir: n(^k) = n (n –1) • (n – 2) • (n – 3) • ... • (n – k + 1)

Al igual que en el caso de los factoriales, los símbolos n(0) y n(1) carecen de sentido, pero para poder aplicar las fórmulas, se establece que n(0) = 1 y n(k) = n

Propiedades de las factoriales generalizadas:

• n(ⁿ) = n!
• n(^{n - h}) • h! = n!
• n(^h) • (n – h)! = n!

http://monografias.interbusca.com/matematicas/los-numeros-factoriales-65.html

3.1 Técnicas de Conteo.

3.2 Combinaciones.

3.3 Variaciones. Permutaciones

BISECTRIZ

La bisectriz de un ángulo es la recta que divide el ángulo en dos partes iguales.

Propiedad : los puntos de la bisectriz son equidistantes a los dos lados (rectas) del ángulo.

Recíprocamente, dos rectas, al cruzarse, determinan cuatro ángulos cóncavos. Cada uno de ellos define una bisectriz. Estas bisectrices resultan ser el lugar geométrico de los puntos equidistantes de las dos rectas. Este resultado se establece fácilmente observando que cada bisectriz es el eje de simetría de su ángulo: la simetría axial respecto de una bisectriz deja el ángulo invariante.

En la figura, la bisectriz interior al ángulo xOy (en amarillo) es (zz'), y la exterior es (ww'). Se cortan formando un ángulo recto. En efecto, si llamemos a la medida de xOz, y b la de yOw, observamos que 2a + 2b es la medida del ángulo xOx' , que es plano. Dividimos por 2: zOw mide a + b = 90º.

Aplicación [editar]

Construcción gráfica con compás

La bisectriz es la recta que divide al angulo en 2 partes iguales con el compás. Las tres bisectrices de los ángulos internos de un triángulo se cortan en un único punto, que equidista de los lados. Este punto se llama el incentro del triángulo y es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo. Esta circunferencia es tangente a cada uno de los lados del triángulo.

Demostración: Dos bisectrices del triángulo no pueden ser paralelas. Sea O la intersección de las bisectrices D y D' (ver figura). Como O pertenece a D, es equidistante de las rectas (AB) y (AC). Como O pertenece a D', entonces también equidista de las rectas (AB) y (BC). Por transitividad de la igualdad, es equidistante de (AC) y (BC), y pertenece a la bisectriz (interior) del ángulo C, es decir a D". Al ser equidistante a los tres lados. Se sigue que la circunferencia cuyo radio sea justamente la distancia común del punto O a los lados del triángulo es tangente a cada uno de los lados.

Otras propiedades [editar]

Considere el triángulo ABC y la circunferencia circunscrita. La mediatriz MN, del lado BC corta el arco BMC en su punto medio. Como el ángulo inscrito BAC subtiende dicho arco, los ángulos BAM y MAC son iguales y la recta AM resulta ser la bisectriz del ángulo BAC. Las rectas AN y AM son ortogonales, porque el lado MN del triángulo AMN es diámetro de la circunferencia y el vértice A se halla sobre dicha circunferencia. La recta AN es bisectriz del ángulo exterior al triángulo ABC en el vértice A. Por lo anteriormente expuesto, se puede decir: La mediatriz de un lado de un triángulo y las bisectrices del ángulo opuesto se intersectan sobre la circunferencia circunscrita

Este hecho se usa en la discusión de la circunferencia de los nueve puntos

CUADRILÁTEROS

Defincion de cuadrilátero

Los cuadriláteros son polígonos de cuatro lados.

La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es igual a 360°.

Clasificación de cuadriláteros

Paralelogramos

Cuadriláteros que tienen los lados paralelos dos a dos. Se clasifican en:

Cuadrado

Tiene los 4 lados iguales y los 4 ángulos rectos.

Rectángulo

Tiene lados iguales dos a dos y los 4 ángulos rectos.

Rombo

Tiene los cuatro lados iguales.

Romboide

Tiene lados iguales dos a dos.

Trapecios

Cuadriláteros que tienen dos lados paralelos, llamados base mayor y base menor. Se clasifican en:

Trapecio rectángulo

Tiene un ángulo recto.

Trapecio isósceles

Tiene dos lados no paralelos iguales.

Trapecio escaleno

No tiene ningún lado igual ni ángulo recto.

Trapezoides

Cuadriláteros que no tiene ningún lado igual ni paralelo.

ÁNGULOS

1. Clasificación de los ángulos
2. Triángulo
3. Clasificación de los triángulos

Un ángulo es la porción de plano limitada por dos semirrectas o rayos que tienen el mismo origen.

Los lados del ángulo son las semirrectas que lo forman.

El vértice del ángulo es el punto común que es origen de los lados.

Los ángulos pueden nombrarse de tres formas distintas:

Por las letras mayúsculas correspondientes a las semirrectas, colocando en medio la letra vértice: ó

Por una letra o número colocado en la abertura a

Por la letra del vértice B

Un ángulo completo es el que está delimitado por dos semirrectas que coinciden.

La bisectriz de una ángulo es la semirrecta que divide al ángulo en dos partes iguales.

La semirrecta OA es bisectriz del ángulo O si se cumple que:

Clasificación de los ángulos:

Llano, es el ángulo formado por dos semirrectas opuestas. Tiene sus lados en la misma recta. Su amplitud es la mitad de un ángulo completo, es decir, de 180º.

Ángulo Recto, es uno cualquiera de los ángulos en que la bisectriz divide al llano. Su amplitud o abertura es de 90º.

Agudo, es todo ángulo cuya amplitud sea menor que la del recto, es decir, es como máximo de 90º.

Obtuso, es aquel cuya amplitud es mayor que la del ángulo recto y menor que la del llano, es decir, está comprendida entre 90º y 180º.

Cóncavo, es el que vale menos que un llano. Por ello se dice que los ángulos cóncavos comprenden a los agudos, rectos y obtusos.

EL PLANO

El plano, en geometría, es el ente ideal que sólo posee dos dimensiones, y contiene infinitos puntos y rectas; es uno de los entes geométricos fundamentales junto con el punto y la recta.

Solamente puede ser definido o descrito en relación a otros elementos geométricos similares. Se suele describir apoyándose en los postulados característicos, que determinan las relaciones entre los entes geométricos fundamentales.

Un plano queda definido por los siguientes elementos geométricos:

• Tres puntos no alineados.
• Una recta y un punto exterior a ella.
• Dos rectas paralelas.
• Dos rectas que se cortan.

Los planos suelen nombrarse con una letra del alfabeto griego.

Suele representarse gráficamente, para su mejor visualización, como una figura delimitada por bordes irregulares (para indicar que el dibujo es una parte de una superficie infinita).

UNIDAD 2: GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO.

La recta: o linea recta, en geometría, es el ente ideal que sólo posee una dimensión, y contiene infinitos puntos; está compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos puntos); también se describe como la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión.

Es uno de los entes geométricos fundamentales, junto al punto y el plano. Son considerados conceptos apriorísticos ya que su definición sólo es posible a partir de la descripción de las características de otros elementos similares. Así, es posible elaborar definiciones basándose en los Postulados característicos que determinan relaciones entre los entes fundamentales. La rectas se suelen denominar con una letra minúscula.

SISTEMA DE ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS.

Resolver un sistema de ecuaciones simultáneas es hallar el conjunto de valores que satisfacen simultáneamente cada una de sus ecuaciones.

Características de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Los resultados característicos de resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables son:

Hay exactamente una solución. Un número infinito de soluciones. No existe solución.

Un sistema es consistente si tiene por lo menos una solución. Un sistema con un número infinito de soluciones es dependiente y consistente. Un sistema es inconsistente si carece de solución.

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON DOS VARIABLES.

Eliminación de una incógnita.

Eliminar una incógnita de un sistema de ecuaciones es reducir el sistema propuesto a otro que tenga una ecuación y una incógnita menos.

Los métodos de eliminación son:
1º. Por adición o sustracción.
2º. Por igualación.
3º. Por sustitución.

1º. Eliminación por adición o sustracción:

Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas empleando el método de eliminación por suma o resta:

a) Multiplíquense los dos miembros de una de las ecuaciones, o de ambas, por número tales que resulten iguales los coeficientes de una misma incógnita.
b) Súmense las dos ecuaciones si dichos coeficientes son de signos contrarios, y réstense si son de mismo signo.
c) Resuélvase la ecuación que así resulta, con lo cual se obtiene el valor de la incógnita que contiene.
d) Sustitúyase este valor en una de las ecuaciones dadas y resuélvase; se obtiene así la otra incógnita.

Ejemplo: Sea resolver el sistema:
x - 3y = 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1),
2x + y = -10 . . . . . . . . . . . . . . . . .(2).

Solución:
Multiplíquese ambos miembros de (1) por 2, se obtiene:
2x - 6y = 18 . . . . . . . . . . . . . . . . (3).

Réstese miembro a miembro la (2) de la (3), desaparecen los términos en "x":
-7y = 28 ,
se obtiene: y = -4.

Sustitúyase "y" por su valor en cualquiera de las ecuaciones dadas, y despéjese a "x":
x - 3y = 9
x - 3(-4) = 9
x + 12 = 9
x = -3;

por tanto: x = -3; y = -4.

2º. Eliminación por igualación:

a) Despéjese, en cada ecuación, la incógnita que se requiere eliminar.
b) Iguálense las expresiones que representan el valor de la incógnita eliminada.
c) Resuélvase la ecuación que resulta, con lo cual se obtiene el valor de la incógnita no eliminada.
d) Sustitúyase el valor hallado en una de las expresiones que representa el valor de la otra incógnita, y resuélvase.

Ejemplo: Sea resolver el sistema:
x + 2y = 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1),
4x - y = 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2).

Se va a eliminar "x". Despéjese el valor de "x" en (1) y (2); se tiene:
x = 22 - 2y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3) ,
x = (7 + y) / 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . (4).

Iguálense las dos expresiones que representan el valor de "x":
22 - 2y = (7 + y) / 4

Dése forma entera, o sea, quítense los denominadores, luego resuélvase:
88 - 8y = 7 + y
-9y = -81
y = 9

Sustitúyase en (3) o en (4) el valor hallado para "y":
x = 22 - 2y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3),
x = 22 - 2(9)
x = 4

por tanto: x = 4; y = 9.

3º. Eliminación por sustitución.

a) Despéjese una incógnita en una de las dos ecuaciones.
b) Sustitúyase la expresión que representa su valor en la otra ecuación.
c) Resuélvase la nueva ecuación, con lo cual se obtiene el valor de la incógnita no eliminada.
d) Sustitúyase el valor así hallado en la expresión que representa el valor de la otra incógnita, y resuélvase la ecuación resultante.

Ejemplo: Sea resolver el sistema:
3x + y = 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . (1),
4x - 3y = -1 . . . . . . . . . . . . . . . . .(2).

Se va a eliminar "x". Despéjese el valor de "x" en (1):
3x = 22 - y
x = (22 - y) / 3 . . . . . . . . . . . . . . . (3).

Sustitúyase (3) en (2):
4 [(22 - y) / 3] - 3y = -1
4 (22 - y) - 9y = -3
88 - 4y - 9y = -3
-13y = -91
y = 7.

Sustitúyase en (3) el valor hallado para "y".
x = (22 - y) / 3 . . . . . . . . . . . . . . . (3).
x = (22 - 7) / 3
x = 5

por tanto: x = 5; y = 7.



Observaciones:
1ª Cuando se resuelve un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas por el método de adición, escójanse números tales que multiplicados por los coeficientes de la incógnita que se quiere eliminar, den como producto el m.c.m. de dichos coeficientes.
2ª En el método de sustitución, despéjese la incógnita que tenga menor coeficiente.
3ª En la resolución de un sistema dado, puede usarse indistintamente uno cualquiera de los tres métodos estudiados, y cada uno tiene sus ventajas según los casos particulares.
Sin embargo, como los últimos procedimientos introducen, por lo general, expresiones fraccionarias, se usa con preferencia el método por adicción o sustracción, por ser el más sencillo.

Sistemas de ecuaciones de primer grado

El estudio de sistemas de ecuaciones lineales es un problema clásico de las matemáticas. Cuando se trata de sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, se aplican diversos métodos de resolución sencillos de tipo gráfico y algebraico; si el número de ecuaciones es superior, es preferible recurrir al empleo de matrices y determinantes.

Sistemas de ecuaciones lineales

Se llama sistema de ecuaciones lineales a un conjunto de igualdades algebraicas en las que aparecen una o varias incógnitas elevadas a la potencia uno. Cada una de estas ecuaciones lineales, o de primer grado, tiene la forma ax + by + cz + … = k, donde a, b, c, ..., son los coeficientes de la ecuación; x, y, z, ..., las incógnitas o variables, y k el término independiente (también un valor constante).

Los sistemas en los que el número de ecuaciones coincide con el de las incógnitas se denominan cuadrados. Un caso particularmente interesante de sistemas cuadrados es el de dos ecuaciones con dos incógnitas, que adopta la forma general siguiente:

Tipos de sistemas lineales

En el análisis de un sistema de ecuaciones lineales se pueden presentar varios casos:

• Si el sistema tiene solución, y ésta es única, se denomina compatible determinado.
• Cuando presenta varias soluciones posibles, es compatible indeterminado.
• Si no tiene solución, se denomina imposible o incompatible.

Dos sistemas de ecuaciones lineales que tienen las mismas soluciones son equivalentes. En la noción de equivalencia se basan las principales técnicas algebraicas de resolución de estos sistemas, que persiguen convertirlos en otros cuya resolución sea más sencilla.

Método de igualación

Una primera técnica algebraica común para resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es el método de igualación. Este método consiste en despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones e igualar las expresiones resultantes; se resuelve la ecuación de primer grado con una incógnita obtenida y se sustituye este valor en las ecuaciones iniciales.

Sea, por ejemplo el sistema:

Despejando x en ambas ecuaciones, se tiene:

Entonces,

Sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuaciones de x, se tiene que x = 2.

Método de sustitución

La técnica algebraica denominada método de sustitución, para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, consiste en despejar una incógnita en una de las ecuaciones y sustituirla en la otra; así, se obtiene una sola ecuación con una incógnita. Una vez obtenido el valor de esta incógnita, se sustituye su valor en cualquiera de las ecuaciones del sistema, inicial para calcular el valor de la otra incógnita.

Sea el mismo sistema anterior de ecuaciones. Si se despeja , y se sustituye en la segunda ecuación, se tiene que:

-17 y = -17, y = 1. Como , entonces x = 2.

Método de reducción

La tercera técnica algebraica de resolución de sistemas de ecuaciones lineales, el método de reducción, consta de los siguientes pasos:

• Se multiplican o dividen los miembros de las dos ecuaciones por los números que convengan para que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente en ambas.
• Se restan las dos ecuaciones resultantes, con lo que se elimina una incógnita.
• Se resuelve la ecuación con una incógnita obtenida, y se sustituye su valor en cualquiera de las ecuaciones iniciales para calcular la segunda.

Por ejemplo, en el sistema de ecuaciones:

<7div>

conviene multiplicar la primera ecuación por 4 y la segunda por 3, y restar ambas ecuaciones: